我們知道感知器算法對於不能完全線性分割的數據是無能為力的，在這一篇將會介紹另一種非常有效的二分類模型——邏輯回歸。在分類任務中，它被廣泛使用
邏輯回歸是一個分類模型，在實現之前我們先介紹幾個概念：
幾率（odds ratio）：
\[ \frac {p}{(1-p)} \]
其中p表示樣本為正例的概率，當然是我們來定義正例是什麼，比如我們要預測某種疾病的發生概率，那麼我們將患病的樣本記為正例，不患病的樣本記為負例。為了解釋清楚邏輯回歸的原理，我們先介紹幾個概念。
我們定義對數幾率函數（logit function）為：
\[ logit(p) = log \frac {p}{(1-p)} \]
對數幾率函數的自變量p取值範圍為0-1，通過函數將其轉化到整個實數範圍中，我們使用它來定義一個特徵值和對數幾率之間的線性關係為：
\[ logit(p(y=1|x)) = w_0x_0+w_1x_1+…+w_mx_m = \sum_i^nw_ix_i=w^Tx \]
在這裏，p(y=1|x)是某個樣本屬於類別1的條件概率。我們關心的是某個樣本屬於某個類別的概率，剛好是對數幾率函數的反函數，我們稱這個反函數為邏輯函數（logistics function），有時簡寫為sigmoid函數：
\[ \phi(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \]
其中z是權重向量w和輸入向量x的線性組合：
\[ z = w^Tx=w_0+w_1x_1+…+w_mx_m \]
現在我們畫出這個函數圖像：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def sigmoid(z):
return 1.0 / (1.0 + np.exp(-z))
z = np.arange(-7, 7, 0.1)
phi_z = sigmoid(z)
plt.plot(z, phi_z)
plt.axvline(0.0, color='k')
plt.axhspan(0.0, 1.0, facecolor='1.0', alpha=1.0, ls='dotted')
plt.yticks([0.0, 0.5, 1.0])
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('$\phi (z)$')
plt.show()
可以看出當z接近於正無窮大時，函數值接近1，同樣當z接近於負無窮大時，函數值接近0。所以我們知道sigmoid函數將一個實數輸入轉化為一個範圍為0-1的一個輸出。
我們將邏輯函數將我們之前學過的Adaline聯繫起來，在Adaline中，我們的激活函數的函數值與輸入值相同，而在邏輯函數中，激活函數為sigmoid函數。
sigmoid函數的輸出被解釋為某個樣本屬於類別1的概率，用公式表示為：
\[ \hat y=\begin{cases}1,\quad \phi(z)\ge 0.5 \\\\0,\quad otherwise\end{cases} \]
也就是當函數值大於0.5時，表示某個樣本屬於類別1的概率大於0.5，於是我們就將此樣本預測為類別1，否則為類別0。我們仔細觀察上面的sigmoid函數圖像，上式也等價於：
\[ \hat y=\begin{cases}1,\quad z\ge 0.0 \\\\0,\quad otherwise\end{cases} \]
邏輯回歸的受歡迎之處就在於它可以預測發生某件事的概率，而不是預測這件事情是否發生。
我們已經介紹了邏輯回歸如何預測類別概率，接下來我們來看看邏輯回歸如何更新權重參數w。
對於Adaline，我們的損失函數為：
\[ J(w) = \sum_i\frac12(\phi(z^{(i)})-y^{(i)})^2 \]
我們通過最小化這個損失函數來更新權重w。為了解釋我們如何得到邏輯回歸的損失函數，在構建邏輯回歸模型時我們要最大化似然L（假設數據集中的所有樣本都是互相獨立的）：
\[ L(w)=P(y|x,w)=\prod^n_{i=1}P(y^{(i)}|x^{(i)};w)=\prod^n_{i=1}(\phi(z^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-\phi(z^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \]
通常我們會最大化L的log形式，我們稱之為對數似然函數：
\[ l(w)=logL(w)=\sum_{i=1}^n\left[y^{(i)}log(\phi(z^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-\phi(z^{(i)}))\right] \]
這樣做有兩個好處，一是當似然很小時，取對數減小了数字下溢的可能性，二是取對數后將乘法轉化為了加法，可以更容易的得到函數的導數。現在我們可以使用一個梯度下降法來最大化對數似然函數，我們將上面的對數似然函數轉化為求最小值的損失函數J：
\[ J(w)=\sum_{i=1}^n\left[-y^{(i)}log(\phi(z^{(i)}))-(1-y^{(i)})log(1-\phi(z^{(i)}))\right] \]
為了更清晰的理解上式，我們假設對一個樣本計算它的損失函數：
\[ J(\phi(z),y;w)=-ylog(\phi(z))-(1-y)log(1-\phi(z)) \]
可以看出，當y=0時，式子的第一部分為0，當y=1時，式子的第二部分為0，也就是：
\[ J(\phi(z),y;w)=\begin{cases}-log(\phi(z)),\quad if\ y=1 \\\\-log(1-\phi(z)),\quad if \ y=0\end{cases} \]
可以看出，當我們預測樣本所屬於的類別時，當預測類別是樣本真實類別的概率越大時，損失越接近0，而當預測類別是真實類別的概率越小時，損失越接近無窮大。
作為舉例，我們這裏對權重向量w中的一個分量進行更新，首先我們求此分量的偏導數：
\[ \frac{\partial }{\partial w_j}l(w) = \left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\frac{\partial }{\partial w_j}\phi(z) \]
在繼續下去之前，我們先計算一下sigmoid函數的偏導數：
\[ \frac{\partial }{\partial z}\phi(z) = \frac{\partial }{\partial z}\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{(1+e^{-z})^2}e^{-z}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})\\=\phi(z)(1-\phi(z)) \]
現在我們繼續：
\[ \left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\frac{\partial }{\partial w_j}\phi(z)\\=\left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\phi(z)(1-\phi(z))\frac{\partial }{\partial w_j}z\\=\left(y(1-\phi(z))-(1-y)\phi(z)\right)x_j\\=(y-\phi(z))x_j \]
所以我們的更新規則為：
\[ w_j = w_j + \eta\sum^n_{i=1}\left(y^{(i)}-\phi(z^{(i)})\right)x_j^{(i)} \]
因為我們要同時更新權重向量w的所有分量，所以我們更新規則為（此處w為向量）：
\[ w = w+\Delta w\\\Delta w = \eta\nabla l(w) \]
因為最大化對數似然函數也就等價於最小化損失函數J，於是梯度下降更新規則為：
\[ \Delta w_j=-\eta\frac{\partial J}{\partial w_j}=\eta\sum^n_{i=1}\left(y^{(i)}-\phi(z^{(i)})\right)x^{(i)}_j\\w=w+\Delta w,\Delta w=-\eta \nabla J(w) \]
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